Due radici reali
L'equazione ha due soluzioni reali e distinte.
Formula del delta (Δ): calcolo online e soluzioni
Inserisci i coefficienti a, b e c: il calcolatore mostra il discriminante, tutti i passaggi e le soluzioni reali o complesse.
Δ = b² − 4ac
Che cos'è il delta e a cosa serve?
La formula delta, indicata con il simbolo Δ, è uno strumento fondamentale per risolvere le equazioni di secondo grado. In questa guida scoprirai cos'è il delta, come si calcola e a cosa serve nei diversi casi.
In matematica la formula del Δ è anche conosciuta come formula del discriminante.
Qual è la formula del delta (Δ)?
La formula del delta si utilizza per determinare le soluzioni delle equazioni di secondo grado in forma normale:
Δ = b² − 4ac
Come si calcola il delta in modo semplice?
Consideriamo l’equazione di secondo grado generica:
ax² + bx + c = 0
Il calcolo del delta consiste nel fare il quadrato del coefficiente b (quello di primo grado) meno il quadruplo del prodotto tra il coefficiente a (di secondo grado) e il termine noto c:
Δ = b² − 4ac
Calcolatore gratuito
ax² + bx + c = 0
Calcola delta e soluzioni
A cosa serve il delta nelle equazioni di secondo grado?
Il valore di Δ ci dice quante e quali soluzioni ha l'equazione:
Una radice doppia
Le due soluzioni reali coincidono.
Due radici complesse
Non esistono soluzioni reali, ma due soluzioni complesse coniugate.
Una volta calcolato il discriminante, le radici si trovano con la formula risolutiva:
x₁,₂ = (−b ± √Δ) / 2a
Come calcolare il delta: i 4 passaggi
Individua a, b e c
Porta l'equazione nella forma ax² + bx + c = 0 e conserva i segni dei coefficienti.
Calcola b²
Eleva al quadrato tutto il coefficiente b. Per esempio, se b = −3, allora b² = 9.
Calcola 4ac
Moltiplica 4 per a e per c, facendo attenzione agli eventuali segni negativi.
Fai la differenza
Sottrai 4ac da b²: il valore ottenuto è Δ e determina il tipo di soluzioni.
Esempio pratico: quando serve davvero il delta nella vita?
Immagina di lanciare una palla verso l’alto da un’altezza di 2 metri. Vogliamo sapere dopo quanti secondi la palla toccherà terra.
Ecco l’esempio:
Dati:
- Altezza iniziale: 2 metri
- Velocità iniziale verso l’alto: +6 m/s
- Accelerazione di gravità: −9,8 m/s²
La palla non parte da ferma: nell’istante iniziale viene lanciata verso l’alto a 6 m/s. Se fosse semplicemente lasciata cadere, avremmo v₀ = 0 e una formula diversa: h(t) = 2 − 4,9t².
Il modello generale del moto verticale, trascurando la resistenza dell’aria, è:
h(t) = h₀ + v₀t + ½gt²
Significato di tutti i simboli
| Simbolo | Nome | Significato nell’esempio | Unità |
|---|---|---|---|
| h(t) | Altezza al tempo t | Posizione verticale della palla rispetto al terreno; varia durante il moto. | metri (m) |
| t | Tempo trascorso | Secondi contati dal lancio. Per convenzione il lancio avviene a t = 0. | secondi (s) |
| h₀ | Altezza iniziale | Altezza della palla a t = 0. In questo caso h₀ = 2 m. | metri (m) |
| v₀ | Velocità iniziale | Velocità al lancio. Qui v₀ = +6 m/s; il segno positivo indica il verso verso l’alto. | metri al secondo (m/s) |
| g | Accelerazione di gravità | Variazione della velocità dovuta alla gravità. Scelto positivo il verso verso l’alto, g = −9,8 m/s². | metri al secondo quadrato (m/s²) |
| ½ | Fattore cinematico | Compare perché, con accelerazione costante, lo spostamento prodotto dall’accelerazione è ½gt². | senza unità |
| t² | Tempo al quadrato | È t × t. Le unità confermano il risultato: (m/s²) × s² = m. | secondi quadrati (s²) |
Sostituendo i dati:
h(t) = 2 + 6t + ½(−9,8)t² = −4,9t² + 6t + 2
- −4,9 deriva da ½ × (−9,8) e moltiplica t².
- 6 è v₀ e moltiplica t.
- 2 è h₀, il termine che non dipende dal tempo.
Come sappiamo che raggiunge 3,84 metri?
Nel punto più alto la palla smette per un istante di salire: la sua velocità verticale è uguale a zero. La velocità varia secondo la formula:
v(t) = v₀ + gt = 6 − 9,8t
Dove v(t) è la velocità verticale all’istante t, v₀ è la velocità iniziale e g è l’accelerazione di gravità. Ponendo v(t) = 0:
0 = 6 − 9,8t → t = 6 / 9,8 ≈ 0,61 s
Inseriamo t ≈ 0,61 s nella formula dell’altezza:
h(0,61) = −4,9(0,61)² + 6(0,61) + 2 ≈ 3,84 m
La palla sale quindi di circa 1,84 m rispetto alla mano: 3,84 − 2 = 1,84 m.
t = 0 s2,00 mlancio dalla mano
t ≈ 0,61 s3,84 maltezza massima
t ≈ 1,224 s2,00 mripassa dalla quota iniziale
t ≈ 1,497 s0 mraggiunge il terreno
Verifica tramite il vertice: il punto più alto coincide con il vertice della parabola h(t). Il suo istante si trova direttamente con t = −b/(2a) = −6/[2(−4,9)] ≈ 0,612 s.
La palla tocca il terreno quando la sua altezza è zero. Impostiamo quindi h(t) = 0:
−4,9t² + 6t + 2 = 0
Confrontando l’equazione con la forma generale at² + bt + c = 0, otteniamo:
a−4,9coefficiente di t²
b6coefficiente di t
c2termine costante
Attenzione: qui a è il coefficiente algebrico dell’equazione; l’accelerazione fisica è invece indicata con g.
Calcolo del discriminante
Δ è il discriminante, b² significa b × b e 4ac significa 4 × a × c:
Δ = b² − 4ac = 6² − 4 × (−4,9) × 2 = 75,2
Poiché Δ > 0, esistono due soluzioni reali distinte. √Δ è la radice quadrata positiva del delta: √75,2 ≈ 8,67. Il simbolo ± richiede un calcolo con il più e uno con il meno.
La formula risolutiva è:
t₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a) = (−6 ± √75,2) / (2 × −4,9)
Nel numeratore, −b cambia il segno di b; al denominatore, 2a significa 2 × a. Il pedice 1,2 indica le due soluzioni.
Prima soluzionet₁ ≈ −0,273 s
È reale matematicamente, ma descrive un istante precedente al lancio e non appartiene al fenomeno osservato da t = 0.
Seconda soluzionet₂ ≈ 1,497 s
È l’istante successivo al lancio in cui h(t) torna a zero: la palla raggiunge il terreno.
Risposta: la palla tocca terra dopo circa 1,5 secondi.
Ipotesi e limiti del modello
Il calcolo assume gravità costante, terreno a quota zero, moto verticale e assenza di resistenza dell’aria. Nella realtà forma della palla, vento e attrito possono modificare il risultato. La massa non compare perché, nel modello ideale senza aria, tutti i corpi hanno la stessa accelerazione gravitazionale.
Lo sapevi? Il peso della palla non influisce sul calcolo del tempo in cui tocca terra. In assenza di resistenza dell’aria, tutti gli oggetti cadono allo stesso modo: vale per le palle, i libri e persino i sassi!
Video: sulla Luna, anche una piuma cade come un martello. La gravità agisce ugualmente su tutto!
Perché si chiama "discriminante"?
Il termine discriminante si riferisce al fatto che il valore del delta discrimina (cioè distingue) tra i vari casi possibili di soluzioni.
Delta quarti: quando si può usare?
Se il coefficiente b è pari, si può semplificare il calcolo usando il delta quarti. Ponendo b = 2b′ si ottiene:
Δ/4 = b′² − ac
Le soluzioni diventano x₁,₂ = (−b′ ± √(Δ/4)) / a. Non è una formula diversa: è la stessa formula risolutiva semplificata.
Errori comuni da evitare
- Dimenticare il segno di b quando il coefficiente è negativo.
- Scrivere −b² invece di (−b)²: il quadrato di un numero negativo è positivo.
- Perdere il segno di a o di c nel prodotto 4ac.
- Usare la formula del secondo grado quando a = 0: in quel caso l'equazione è lineare.
Curiosità su b² - 4ac
Se ti interessa approfondire, ti consiglio questo articolo su amicoprof.it ricco di curiosità sulla formula del delta.
Video tutorial sulla formula del delta
Scopri il significato pratico e geometrico della formula delta con questo simpatico video di Schooltoon:
E se vuoi esercizi guidati sulla formula Δ e varianti come il "delta quarti", ecco un’altra risorsa utile:
Lezioni di matematica – La Fisica che ci piace
Domande frequenti sulla formula del delta
La formula è Δ = b² − 4ac, dove a, b e c sono i coefficienti dell'equazione ax² + bx + c = 0.
L'equazione non ha radici reali. Nell'insieme dei numeri complessi possiede invece due soluzioni coniugate.
Non è più un'equazione di secondo grado: diventa bx + c = 0 e, se b è diverso da zero, la soluzione è x = −c/b.