Funzioni Lineari e Polinomiali: Esempi Pratici

La Differenza tra Funzioni Lineari e Polinomiali

Quando analizziamo la relazione tra due variabili, come nel caso del tasso di interesse e della rata di un mutuo, possiamo descriverne il comportamento con funzioni matematiche. Due dei modelli più comuni sono le funzioni lineari e le funzioni polinomiali (quadratiche). In questo articolo, esploreremo le differenze tra queste due tipologie di funzioni, utilizzando esempi concreti.

Funzione Lineare: Aumento Costante

Una funzione lineare descrive una relazione in cui la variabile dipendente cresce (o decresce) in modo costante al variare della variabile indipendente. La forma generale di una funzione lineare è:

R(t) = mt + c

Dove:

  • R(t) è la variabile dipendente (la rata mensile, nel nostro caso),
  • t è la variabile indipendente (il tasso di interesse),
  • m rappresenta la crescita costante (pendenza),
  • c è il valore iniziale della variabile dipendente (l’intercetta).

Esempio di Funzione Lineare

Immaginiamo un tasso di interesse crescente in modo lineare con un incremento costante della rata. La formula potrebbe essere:

R(t) = 40t + 300

Questo significa che per ogni 1% di aumento del tasso di interesse, la rata mensile aumenta di 40€. Vediamo come cambia la rata con diversi tassi di interesse:

  • Con un tasso del 1%, la rata sarà: 340€ (R(1) = 40(1) + 300)
  • Con un tasso del 2%, la rata sarà: 380€ (R(2) = 40(2) + 300)
  • Con un tasso del 3%, la rata sarà: 420€ (R(3) = 40(3) + 300)

L’incremento è sempre di 40€ per ogni aumento di 1% nel tasso di interesse. Questo è ciò che caratterizza una funzione lineare: un aumento costante e prevedibile.

Funzione Polinomiale (Quadratica): Aumento VariabileFunzioni Lineari e Polinomiali: Esempi Pratici 1

Al contrario, una funzione polinomiale (quadratica) descrive una relazione in cui la variabile dipendente cresce in modo non lineare, con un’accelerazione o decelerazione man mano che la variabile indipendente aumenta. La forma generale di una funzione polinomiale di secondo grado è:

R(t) = at2 + bt + c

Dove:

  • R(t) è la variabile dipendente,
  • t è la variabile indipendente,
  • a è il coefficiente del termine quadratico (che determina la curvatura della parabola),
  • b è il coefficiente del termine lineare,
  • c è il termine costante.

Esempio di Funzione Polinomiale

Abbiamo derivato la seguente funzione polinomiale per modellare l’andamento della rata mensile in base al tasso di interesse utilizzando Excel e un metodo statistico chiamato regressione polinomiale. In questo caso, Excel ha calcolato i coefficienti che meglio si adattano ai dati reali, fornendo la formula:

R(t) = 1.32t2 + 42.09t + 416.45

Con questa formula, possiamo osservare come la rata cresca a un ritmo variabile, non costante, al crescere del tasso di interesse. Vediamo qualche esempio:

  • Con un tasso del 1%, la rata sarà: 459.89€ (R(1) = 1.32(1)2 + 42.09(1) + 416.45)
  • Con un tasso del 2%, la rata sarà: 505.88€ (R(2) = 1.32(2)2 + 42.09(2) + 416.45)
  • Con un tasso del 3%, la rata sarà: 554.60€ (R(3) = 1.32(3)2 + 42.09(3) + 416.45)

Calcolo Manuale

Prima dell’uso di strumenti software come Excel, questi coefficienti potevano essere calcolati manualmente usando il metodo dei minimi quadrati. Questo metodo statistico permette di minimizzare l’errore tra i dati osservati e la curva stimata, risolvendo un sistema di equazioni lineari basato sui valori raccolti (ad esempio, il tasso di interesse e la rata mensile). I calcoli manuali richiedevano strumenti come il regolo calcolatore e tavole numeriche, oppure la risoluzione manuale di sistemi lineari tramite tecniche algebriche.

In sintesi, con Excel abbiamo potuto automatizzare un processo complesso che una volta richiedeva molto più tempo e calcoli manuali, rendendo più facile derivare equazioni come questa per analizzare il comportamento delle variabili.

Come si può notare, l’aumento della rata è maggiore a tassi più elevati. La funzione polinomiale descrive una relazione in cui l’incremento diventa sempre più rapido, a differenza della funzione lineare, dove l’incremento è sempre lo stesso.

Leggi il nostro articolo Aumento o Diminuzione dell’interesse sulla Rata del Mutuo

Confronto tra Funzione Lineare e Polinomiale

Ecco un riassunto delle principali differenze:

Funzione Lineare Funzione Polinomiale (Quadratica)
Crescita costante e prevedibile. Crescita variabile, l’incremento accelera o decelera.
Formula: R(t) = mt + c Formula: R(t) = at2 + bt + c
Esempio: l’incremento della rata è sempre lo stesso per ogni aumento del tasso di interesse. Esempio: l’incremento della rata diventa maggiore con tassi più elevati.

Conclusione

In sintesi, le funzioni lineari e polinomiali descrivono relazioni molto diverse tra variabili. Una funzione lineare implica un aumento costante, mentre una funzione polinomiale di secondo grado (quadratica) implica un aumento che varia man mano che la variabile indipendente cresce. Nella pratica, la scelta di un modello dipende dalla natura della relazione che vogliamo descrivere.

EMA, acronimo di “Exponential Moving Average”

Il significato di EMA in statistica

EMA è l’acronimo di “Exponential Moving Average” che in italiano significa media mobile esponenziale.

L’EMA è una tecnica di analisi statistica utilizzata per calcolare una media mobile ponderata dei dati. Essa tiene conto dei dati più recenti in modo più significativo rispetto ai dati più vecchi, assegnando loro un peso maggiore.

Nel contesto del ciclismo, l’EMA viene spesso utilizzata per calcolare la Potenza Normalizzata (NP), che tiene conto della variazione della potenza durante l’allenamento.

L’EMA, nel ciclismo, viene calcolata utilizzando una finestra di tempo predefinita, solitamente di 30 secondi, durante la quale si calcola la media mobile ponderata dei dati di potenza. Il peso assegnato ai dati di potenza più recenti è maggiore rispetto ai dati più vecchi, secondo una formula matematica specifica.

L’utilizzo dell’EMA per calcolare la NP aiuta a tener conto delle fluttuazioni della potenza durante l’allenamento, il che rende la potenza normalizzata un indicatore più preciso della fatica muscolare rispetto alla semplice media della potenza. In generale, l’EMA è una tecnica utile per analizzare dati temporali e può essere utilizzata in molti altri contesti, oltre al ciclismo.

Un esempio di come calcolare l’EMA

In questo esempio stiamo utilizzando una finestra di tempo di 5 periodi su una serie di dati fittizi:

Periodo Dati di Potenza EMA
1 150 150
2 170 158
3 180 166
4 160 163
5 155 160

Nella tabella sopra, abbiamo una serie di dati di potenza relativi a un periodo di allenamento, insieme alla relativa EMA. Per calcolare l’EMA, abbiamo utilizzato una finestra di tempo di 5 periodi.

Il calcolo dell’EMA viene effettuato utilizzando la seguente formula:

EMA = ((Dato Corrente - EMA precedente) x (2 / (n + 1))) + EMA precedente

Dove n rappresenta la finestra di tempo utilizzata, in questo caso 5 periodi. Nella tabella sopra, la formula per il calcolo dell’EMA è stata applicata in modo sequenziale per ogni periodo.

Per esempio, per calcolare l’EMA del secondo periodo, abbiamo utilizzato la formula come segue:

EMA2 = ((170 - 150) x (2 / (5 + 1))) + 150 = 157,33

Quindi, per calcolare l’EMA del terzo periodo, abbiamo utilizzato la stessa formula, ma abbiamo utilizzato l’EMA2 come valore precedente:

EMA3 = ((180 - 157,33) x (2 / (5 + 1))) + 157,33 = 165,55

Per approfondire consigliamo  questo post sull’applicazione della media mobile esponenziale in campo economico

Il concetto degli interessi spiegati a un bambino

Caro bambino, ora ti spieghiamo cosa sono gli interessi

Risparmio, prestito e interessi bancari

Gli interessi sono dei soldi extra che si guadagnano quando si presta del denaro a qualcun altro. Se per esempio dai 10 euro a un amico e lui ti promette di darti 11 euro dopo un mese, gli 11 euro che ti darà comprenderanno i 10 euro che gli hai prestato più un euro di interesse. Questo euro extra è il guadagno che hai ottenuto prestando i tuoi soldi.

Gli interessi possono essere calcolati in modo diverso a seconda della situazione. Ad esempio, se presti dei soldi a un amico, potete decidere insieme quanto denaro extra vuoi guadagnare. Ma quando si presta denaro a una banca o a un’altra istituzione finanziaria, gli interessi sono calcolati in base alla quantità di denaro prestato e al tasso di interesse.

Il tasso di interesse è una percentuale che indica quanto denaro extra si guadagna prestando i propri soldi.

Ad esempio, se il tasso di interesse è del 5%, significa che ogni 100 euro prestati si guadagneranno 5 euro di interessi.

È importante capire come funzionano gli interessi perché possono aiutarci o a risparmiare denaro oppure  a investirlo in modo intelligente. Ad esempio, se mettiamo i nostri soldi in un conto di risparmio che offre un buon tasso di interesse, possiamo guadagnare soldi extra senza dover fare molto. Ma se spendiamo oltre quello che si possiede ci indebitiamo e potremo dover pagare interessi molto alti alla banca che ci ha presto il denaro e questo ci costerà molto di più a lungo termine.

Caro bambino speriamo che questo articolo ti abbia aiutato a capire meglio il concetto di interessi!

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La media ponderata

Cos’è la media ponderata?

La media ponderata è una forma di media che tiene conto del peso o dell’importanza di ogni valore nella serie.

In altre parole, ogni valore viene moltiplicato per un fattore di peso prima di essere sommato e diviso per la somma dei pesi. Questo permette di dare maggiore importanza ai valori più significativi e meno importanza ai valori meno significativi. La media ponderata viene utilizzata in molte applicazioni, come ad esempio nella valutazione scolastica, dove i voti di alcune prove possono avere un peso maggiore rispetto ad altre.

Esempio di calcolo della media ponderata per la valutazione scolastica.

Supponiamo che uno studente abbia preso i seguenti voti in tre prove con i rispettivi pesi:

  • Prova 1: 8/10 con peso 3
  • Prova 2: 9/10 con peso 2
  • Prova 3: 7/10 con peso 5

La media ponderata può essere calcolata come segue:

(8/10 x 3 + 9/10 x 2 + 7/10 x 5) / (3 + 2 + 5) = (24 + 18 + 35) / 10 = 77 / 10 = 7,7

Quindi, la media ponderata dello studente sarebbe 7,7/10. Questo significa che le prove con peso maggiore hanno avuto un maggiore impatto sul risultato finale.

Esempio di calcolo della media ponderata per la valutazione di una prestazione ciclistica.

Calcolare la media ponderata che sprigiona un ciclista che pedala per 6 minuti con una potenza di 260 watt e 3 minuti con una potenza di 185 watt.

Soluzione

La potenza media ponderata si calcola come la somma del prodotto della potenza e del tempo per ogni intervallo di tempo, divisa per la durata totale:

(5 minuti x 260 watt + 3 minuti x 185 watt) / (5 minuti + 3 minuti) = (1300 + 555) / 8 = 1855 / 8 = 222,5 watt.

Risorse online sul calcolo della media ponderata

Come calcolare l’inflazione utilizzando un indice dei prezzi al consumo con pesi percentuali, inclusi beni e servizi

Il calcolo online della media ponderata

Cos’è il Delta?

Delta in matematica

Il Delta ( Δ)  viene usato in matematica per indicare una variazione o una differenza finita tra valori.


Cos’è il Delta percentuale?

Per capire cos’è il Delta percentuale facciamo subito un esempio:

Ipotizziamo di avere il prezzo di un oggetto che indicheremo con P1 e che con il tempo varia a P2.

Per calcolare il Delta percentuale detta anche variazioni percentuale che indicheremo con Δ% applichiamo la formula 1:

(1) Δ = (P2 - P1) / (P1) 

Per esprimere il Δ in percentuale lo moltiplichiamo per 100

Δ % = Δ * 100 

ESEMPIO 

P1= 95

P2= 85

applicando la formula 1

Δ = (85-95) / 95 = -10/95= -0,1053

per esprimerlo in percentuale moltiplicheremo per 100 il risultato: 

Δ % = -0,1053* 100 = -10,53%

Per calcolare la variazione percentuale tra due valori puoi usare questa utility.


Approfondisci sulla formula del Delta