La media ponderata

Cos’è la media ponderata?

La media ponderata è una forma di media che tiene conto del peso o dell’importanza di ogni valore nella serie.

In altre parole, ogni valore viene moltiplicato per un fattore di peso prima di essere sommato e diviso per la somma dei pesi. Questo permette di dare maggiore importanza ai valori più significativi e meno importanza ai valori meno significativi. La media ponderata viene utilizzata in molte applicazioni, come ad esempio nella valutazione scolastica, dove i voti di alcune prove possono avere un peso maggiore rispetto ad altre.

Esempio di calcolo della media ponderata per la valutazione scolastica.

Supponiamo che uno studente abbia preso i seguenti voti in tre prove con i rispettivi pesi:

  • Prova 1: 8/10 con peso 3
  • Prova 2: 9/10 con peso 2
  • Prova 3: 7/10 con peso 5

La media ponderata può essere calcolata come segue:

(8/10 x 3 + 9/10 x 2 + 7/10 x 5) / (3 + 2 + 5) = (24 + 18 + 35) / 10 = 77 / 10 = 7,7

Quindi, la media ponderata dello studente sarebbe 7,7/10. Questo significa che le prove con peso maggiore hanno avuto un maggiore impatto sul risultato finale.

Esempio di calcolo della media ponderata per la valutazione di una prestazione ciclistica.

Calcolare la media ponderata che sprigiona un ciclista che pedala per 6 minuti con una potenza di 260 watt e 3 minuti con una potenza di 185 watt.

Soluzione

La potenza media ponderata si calcola come la somma del prodotto della potenza e del tempo per ogni intervallo di tempo, divisa per la durata totale:

(5 minuti x 260 watt + 3 minuti x 185 watt) / (5 minuti + 3 minuti) = (1300 + 555) / 8 = 1855 / 8 = 222,5 watt.

Risorse online sul calcolo della media ponderata

Come calcolare l’inflazione utilizzando un indice dei prezzi al consumo con pesi percentuali, inclusi beni e servizi

Il calcolo online della media ponderata

Il metodo delle fattorizzazioni o delle riflessioni

Il metodo delle fattorizzazioni e il metodo delle riflessioni sono entrambi metodi alternativi per risolvere un’equazione di secondo grado, oltre alla formula di Bhaskara.

Il metodo delle fattorizzazioni

Il metodo delle fattorizzazioni consiste nel trasformare l’equazione di secondo grado in un prodotto di due fattori lineari. Per fare questo, si cerca di scrivere l’equazione come (ax + p)(bx + q) = 0e quindi si risolvono i due fattori lineari.

Il metodo delle riflessioni

Il metodo delle riflessioni consiste nel trasformare l’equazione di secondo grado in un’altra equazione di secondo grado con coefficienti diversi, ma con soluzioni uguali o simili.

Ad esempio, si può trasformare l’equazione x^2 + 2px + q = 0 in un’altra equazione (x + p)^2 = q – p^2 , questa nuova equazione ha soluzioni reali se q – p^2 > 0, soluzioni complesse se q – p^2 < 0e una sola soluzione reale se q – p^2 = 0.

Questi metodi possono essere utili in alcune situazioni specifiche, ad esempio quando si vogliono evitare calcoli complessi o quando si vogliono evitare problemi di incertezza numerica, ma richiedono una buona comprensione dei concetti matematici di algebra e una buona abilità nell’uso delle formule.

 

Le progressioni numeriche

Quali sono le progressioni numeriche?

La progressione aritmetica

Cos’è e cosa si intende per progressione aritmetica?

Una progressione aritmetica è una successione di numeri dove la differenza tra ciascun termine e il successivo si mantiene costante.

La differenza si chiama ragione della successione

La progressione geometrica

Cosa si intende per progressione geometrica?

Si intende una successione di numeri nella quale il rapporto tra ciascun termine  della serie e il precedente si mantiene costante.

Il quoziente si chiama ragione della successione.

Si chiama serie geometrica la somma dei numeri che costituiscono la progressione aritmetica.

Progressione armonica

Per conoscere e approfondire la progressione armonica consigliamo l’Enciclopedia Treccani

Esercizi sulle progressioni numeriche

Riteniamo molto utili gli esercizi proposti su questa pagina sul sito formulariomatematico.altervista.org

Creare una progressione aritmetica con excel

Come creare una progressione aritmetica con excel?

  1. Apri un foglio di lavoro
  2. Digita il numero 2 nella cella A1
  3. Digita 5 in A2
  4. Seleziona l’intervallo A1:A2 (Excel riconoscerà la ragione)
  5. Posiziona il mouse sul quadratino di riempimento in basso a destra della selezione e trascinare fino al punto che desideri

et voilà la progressione è creata

Lo stesso procedimento lo puoi eseguire anche su Google sheet. Impara su Google

Come calcolare la pendenza di una rampa

Prima di mostrarti come calcolare la pendenza di una rampa, è necessario spiegare la convenzione dell’unità di pendenza

La pendenza si può esprimere in vari modi. Le tre più popolari sono:

  1. Rapporto tra altezza e lunghezza
  2. Angolo
  3. Percentuali
Rampa

Rapporto tra altezza  e lunghezza

Questo è il rapporto tra una parte dell’altezza  e la parte appropriata della lunghezza. 

Può essere espresso in alcune notazioni diverse: 1:8, 1/8, 1 su 8, ad esempio, con un rapporto 1:12, per ogni unità di “salita verticale”, devi avere 12 unità di lunghezza, quindi 1 cm di aumento in altezza  significa che sono necessari 12 cm  di spazio orizzontale. Le più comuni sono 1:12, 1:20, 1:8.

Pendenza = Altezza: Lunghezza della rampa

Angolo

È l’angolo tra Pendenza e lunghezza, in altre parole, angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale. Questo angolo è comunemente espresso in gradi, sebbene siano possibili altre unità angolari. Per calcolare l’angolo di inclinazione, utilizzare la tangente inversa:

Pendenza[angolo] = arctan(Altezza:Lunghezza)

Percentuali

Dare  la pendenza in percentuale è il modo più comune per descrivere le pendenze in Europa e Stati Uniti.

Fai attenzione: una pendenza del 100% non equivale a 90 gradi, ma a 45 gradi. 

Si calcola dalla tangente dell’angolo di inclinazione:

Pendenza[%] = 100% * Altezza: Lunghezza della rampa = 100% * tan(angolo)

Dopo l’introduzione sulle unità di pendenza, torniamo al cuore della questione: come si calcola la pendenza di una rampa?

Bene, questo dipende dalle informazioni che hai: se conosci l’altezza e la corsa (il caso più semplice), puoi utilizzare le formule sopra menzionate. 

Tuttavia, potresti conoscere l’altezza e l’ ipotenusa del triangolo rettangolo che forma la rampa. In questo caso, puoi calcolare la lunghezza direttamente dalla formula pitagorica:

lunghezza2 +Altezza2 = ipotenusa2

lunghezza= √(ipotenusa2 – Altezza2)

In alternativa, puoi trovare la pendenza usando le funzioni inverse:

  • Inverso del sen, se conosci il Altezza e l’ipotenusa:

Pendenza[%] = arcsin(Altezza/ipotenusa)

  • Inverso del coseno, se conosci la Lunghezza e l’ipotenusa:

Pendenza[%] = arccos(Lunghezza/ipotenusa)


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Un utile file PDF PENDENZA RAMPE E PERCENTUALI

Incline calculator

Come calcolo la pendenza di una salita?

Le proporzioni: cosa sono e come si calcolano

Come si calcolano le proporzioni?

Usiamo un argomento attualissimo e  ricorrente in questo periodo per imparare ad usare e calcolare le proporzioni.

La settimana scorsa nel Comune di Milano che ha una popolazione di3.249.821 abitanti (fonte Istat) si sono registrati 1350 casi di Corona Virus.

Se volessimo conoscere l’incidenza dei casi di Corona Virus su 1000 abitanti, che sarà la nostra incognita X, dobbiamo impostare una proporzione.

Come calcolare l’incognita nelle proporzioni?

Ecco la formula per calcolare l’incognita X

A / B = X / C

Nel nostro esempio:

  • A=1350
  • B=3249821
  • X=INCOGNITA
  • C=1000

quindi

1350 / 3249821 = X/1000

X=(1000 * 1350)/3249821

In definitiva

X=0,4154 sarà l'incidenza dei casi di Corona Virus su 1000 abitanti

La proporzione sarà:

1350/3249821 = 0,4154/1000

Le proporzioni sul WEB

Se volessi calcolare online le proporzioni c’è un ottimo sito in INGLESE che può aiutarti Ratio Solver.

Anche un ottimo video su Youtube può essere d’aiuto

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Formula del Delta (Δ)

La formula del delta in matematica

La formula del Delta in matematica non è altro che un sistema per risolvere le equazioni di secondo grado in forma normale.





Ecco la formula: Δ=b2 - 4ac

In matematica la formula del Delta si chiama anche formula del discriminante.


Come si calcola il delta nelle equazioni di secondo grado in modo semplice?

Considerata  l’equazione di secondo grado generica

ax2 + bx +c = 0

Per calcolare il Delta occorre fare:

Δ=quadrato del coefficiente di primo grado (b) meno il quadruplo del prodotto del coefficiente di secondo grado per il termine noto (c).

Quindi

Δ=b2 - 4ac

A cosa serve calcolare il DELTA?

Il calcolo del Delta è utile per sapere se esistono e quante sono le soluzioni dell’equazione studiata.

Si può inserire la formula del Delta all’interno della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado (vedi immagine sotto).

Come già detto, la quantità sotto la radice quadrata  b2−4ac è il discriminante.

Formula del Delta

Abbiamo visto come calcolare il discriminante o Delta, ora vediamo, in base al suo  valore quale risposte possiamo ottenere.

Le risposte sono 3

  1. Se il Δ>0 → l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte.
  2. Se il Δ=0 → l’equazione ha 2 soluzioni reali e coincidenti. Se si scompone si otterrà un quadrato di binomio.
  3. Se il Δ<0 → l’equazione non è risolvibile nel campo dei numeri reali.

In definitiva, come già detto il Delta ci dice se esistono e quante sono le soluzioni dell’equazione.

b2-4ac, curiosità sulla formula del delta

Molto interessante l’articolo scritto sulla formula del delta su amicoprof.it  dal titolo b2-4ac, curiosità sulla formula del delta

Perché il Δ si chiama discriminante?

La parola discriminante è dovuta al fatto che essendo b2−4ac positivo, nullo o negativo rende differenziate, cioè discrimina, le soluzioni dell’equazione.


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A cosa servono le equazioni di secondo grado nella vita e qual è il loro significato geometrico e fisico? 

Scoprilo su questo fantastico e simpatico video a cura di Schooltooners

FORMULA DELTA, formula delta quarti, esercizi equazioni di secondo grado


Molto utile sull’argomento consultare la pagina The quadratic formula and the discriminant a cura di Australian Government Department of Education, Employment and Workplace Relations su questa pagina