Ascisse e ordinate: le coordinate cartesiane:

Le coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane sono un sistema di riferimento utilizzato per descrivere la posizione di un punto in un piano. Questo sistema di riferimento consiste in due rette ortogonali, una orizzontale (chiamata asse x) e una verticale (chiamata asse y), che incrociano in un punto noto come origine.

L’asse x è chiamato “asse delle ascisse“, l’asse y è chiamato “asse delle ordinate“. 

Le coordinate cartesiane. Asse delle ordinate e asse delle ascisse
Asse delle ordinate e asse delle ascisse

Ad ogni punto del piano è assegnato un paio di coordinate (x, y), che indicano la distanza del punto dall’origine lungo gli assi x e y. Ad esempio, se un punto ha coordinate P (4, 3), significa che si trova a 4 unità lungo l’asse x e 3 unità lungo l’asse y rispetto all’origine.

Questo sistema di coordinate è molto utile per rappresentare graficamente funzioni matematiche e per risolvere problemi che riguardano la posizione e la relazione tra punti in un piano.

La distanza euclidea

Un problema da risolvere sulle sulle coordinate cartesiane

Supponiamo di avere un punto P sul piano cartesiano con coordinate (a, b). Determinare la distanza del punto P dall’origine O (0, 0).

Soluzione: La distanza tra due punti sul piano cartesiano può essere calcolata utilizzando la formula della distanza euclidea:

La distanza tra due punti nel piano cartesiano (distanza euclidea) si calcola come radice quadrata della somma tra il quadrato della differenza delle ascisse e il quadrato della differenza delle ordinate dei due punti. La distanza tra due punti è per definizione non negativa, dunque è positiva oppure nulla se i due punti coincidono.

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Applicando questa formula al punto P (a, b) e all’origine O (0, 0), otteniamo:

d = √((a - 0)^2 + (b - 0)^2) d = √(a^2 + b^2)

Questa è la soluzione per la distanza del punto P dall’origine O sul piano cartesiano.

Altre fonti utili sullo stesso argomento

Geometria analitica: le coordinate del piano cartesiano e l’equazione della retta

Una dispensa in pdf che riporta alcuni esercizi da svolgere sul PIANO CARTESIANO

Bhaskara: un matematico indiano

Chi era Bhaskara?

Bijjada Bida Bhaskara nacque nel 1114 e morì nel 1185 d.c. .

Matematico e astronomo indiano vissuto intorno al XI secolo d.C. Conosciuto come Bhaskaracharya, che significa “maestro Bhaskara”. Bhaskara è considerato uno dei più grandi matematici indiani di tutti i tempi e ha contribuito in modo significativo allo sviluppo della matematica e dell’astronomia in India.

Bhaskara ha scritto due opere importanti, il “Lilavati” e il “Bijaganita”, che trattano rispettivamente di aritmetica e algebra. In queste opere, Bhaskara ha fornito soluzioni innovative a problemi matematici e ha introdotto nuove tecniche per risolvere equazioni.

Egli comprese il calcolo infinitesimale, i sistemi numerici e calcolò le derivate delle funzioni trigonometriche e le loro formule.

Bhaskara ha anche scritto un trattato di astronomia, “Siddhanta Shiromani”, che è considerato una delle più importanti opere di astronomia in sanscrito.

In sintesi, Bhaskara è stato un matematico e astronomo di grande importanza nella storia della scienza indiana e la sua opera ha avuto un’influenza duratura sulla matematica e l’astronomia.

La media ponderata

Cos’è la media ponderata?

La media ponderata è una forma di media che tiene conto del peso o dell’importanza di ogni valore nella serie.

In altre parole, ogni valore viene moltiplicato per un fattore di peso prima di essere sommato e diviso per la somma dei pesi. Questo permette di dare maggiore importanza ai valori più significativi e meno importanza ai valori meno significativi. La media ponderata viene utilizzata in molte applicazioni, come ad esempio nella valutazione scolastica, dove i voti di alcune prove possono avere un peso maggiore rispetto ad altre.

Esempio di calcolo della media ponderata per la valutazione scolastica.

Supponiamo che uno studente abbia preso i seguenti voti in tre prove con i rispettivi pesi:

  • Prova 1: 8/10 con peso 3
  • Prova 2: 9/10 con peso 2
  • Prova 3: 7/10 con peso 5

La media ponderata può essere calcolata come segue:

(8/10 x 3 + 9/10 x 2 + 7/10 x 5) / (3 + 2 + 5) = (24 + 18 + 35) / 10 = 77 / 10 = 7,7

Quindi, la media ponderata dello studente sarebbe 7,7/10. Questo significa che le prove con peso maggiore hanno avuto un maggiore impatto sul risultato finale.

Esempio di calcolo della media ponderata per la valutazione di una prestazione ciclistica.

Calcolare la media ponderata che sprigiona un ciclista che pedala per 6 minuti con una potenza di 260 watt e 3 minuti con una potenza di 185 watt.

Soluzione

La potenza media ponderata si calcola come la somma del prodotto della potenza e del tempo per ogni intervallo di tempo, divisa per la durata totale:

(5 minuti x 260 watt + 3 minuti x 185 watt) / (5 minuti + 3 minuti) = (1300 + 555) / 8 = 1855 / 8 = 222,5 watt.

Risorse online sul calcolo della media ponderata

Come calcolare l’inflazione utilizzando un indice dei prezzi al consumo con pesi percentuali, inclusi beni e servizi

Il calcolo online della media ponderata

Il metodo delle fattorizzazioni o delle riflessioni

Il metodo delle fattorizzazioni e il metodo delle riflessioni sono entrambi metodi alternativi per risolvere un’equazione di secondo grado, oltre alla formula di Bhaskara.

Il metodo delle fattorizzazioni

Il metodo delle fattorizzazioni consiste nel trasformare l’equazione di secondo grado in un prodotto di due fattori lineari. Per fare questo, si cerca di scrivere l’equazione come (ax + p)(bx + q) = 0e quindi si risolvono i due fattori lineari.

Il metodo delle riflessioni

Il metodo delle riflessioni consiste nel trasformare l’equazione di secondo grado in un’altra equazione di secondo grado con coefficienti diversi, ma con soluzioni uguali o simili.

Ad esempio, si può trasformare l’equazione x^2 + 2px + q = 0 in un’altra equazione (x + p)^2 = q – p^2 , questa nuova equazione ha soluzioni reali se q – p^2 > 0, soluzioni complesse se q – p^2 < 0e una sola soluzione reale se q – p^2 = 0.

Questi metodi possono essere utili in alcune situazioni specifiche, ad esempio quando si vogliono evitare calcoli complessi o quando si vogliono evitare problemi di incertezza numerica, ma richiedono una buona comprensione dei concetti matematici di algebra e una buona abilità nell’uso delle formule.

 

Risolvere un’equazione di secondo grado con la formula di Bhaskara

L’equazione di secondo grado è un’equazione polinomiale di grado 2, di forma generale ax2 + bx + c = 0.

Formula di Bhaskara

Esistono diverse tecniche per risolverla, ma la più comune è utilizzare la formula generale, nota come formula di Bhaskara.

La formula di Bhaskara per risolvere un’equazione di secondo grado è la seguente: x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a

Per utilizzare questa formula, è necessario conoscere i valori di a, b e c nell’equazione. Una volta che si hanno questi valori, si può sostituirli nella formula e calcolare i valori di x.

Si deve fare attenzione quando si calcola la radice quadrata del discriminante (b^2 – 4ac) , se il discriminante è negativo non esistono soluzioni reali, se invece il discriminante è uguale a zero esiste una sola soluzione reale, se invece il discriminante è maggiore di zero esistono due soluzioni reali.

È importante notare che l’equazione di secondo grado può avere soluzioni multiple o soluzioni complesse, a seconda dei valori di a, b e c. In casi specifici, è possibile utilizzare altre tecniche per risolvere l’equazione, come il metodo delle fattorizzazioni o il metodo delle riflessioni.

In generale, risolvere un’equazione di secondo grado richiede di avere una buona comprensione dei concetti matematici di algebra e di saper utilizzare le formule corrette. Con un po’ di pratica, tuttavia, è possibile risolvere con successo questo tipo di equazioni.

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Quali sono le progressioni numeriche?

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Cos’è e cosa si intende per progressione aritmetica?

Una progressione aritmetica è una successione di numeri dove la differenza tra ciascun termine e il successivo si mantiene costante.

La differenza si chiama ragione della successione

La progressione geometrica

Cosa si intende per progressione geometrica?

Si intende una successione di numeri nella quale il rapporto tra ciascun termine  della serie e il precedente si mantiene costante.

Il quoziente si chiama ragione della successione.

Si chiama serie geometrica la somma dei numeri che costituiscono la progressione aritmetica.

Progressione armonica

Per conoscere e approfondire la progressione armonica consigliamo l’Enciclopedia Treccani

Esercizi sulle progressioni numeriche

Riteniamo molto utili gli esercizi proposti su questa pagina sul sito formulariomatematico.altervista.org

Creare una progressione aritmetica con excel

Come creare una progressione aritmetica con excel?

  1. Apri un foglio di lavoro
  2. Digita il numero 2 nella cella A1
  3. Digita 5 in A2
  4. Seleziona l’intervallo A1:A2 (Excel riconoscerà la ragione)
  5. Posiziona il mouse sul quadratino di riempimento in basso a destra della selezione e trascinare fino al punto che desideri

et voilà la progressione è creata

Lo stesso procedimento lo puoi eseguire anche su Google sheet. Impara su Google

Come calcolare inclinazione o pendenza di una rampa

Prima di mostrarti come calcolare l’inclinazione  di una rampa, è necessario sapere cosa si intende per inclinazione.

L’inclinazione si riferisce all’angolo formato tra la superficie e la linea orizzontale. È l’angolo misurato rispetto a un piano orizzontale di riferimento. Viene spesso misurata in gradi, e un’angolazione di zero gradi indica una superficie perfettamente orizzontale, mentre un’angolazione di 90 gradi indica una superficie verticale.

In pratica, l’uso di “pendenza” o “inclinazione” dipende spesso dal contesto specifico e dalle convenzioni locali. In generale, tuttavia, entrambi i termini si riferiscono all’angolo o alla ripidità di una superficie rispetto alla linea orizzontale.

Rampa

Rapporto tra altezza  e lunghezza

Questo è il rapporto tra una parte dell’altezza  e la parte appropriata della lunghezza. 

Può essere espresso in alcune notazioni diverse: 1:8, 1/8, 1 su 8, ad esempio, con un rapporto 1:12, per ogni unità di “salita verticale”, devi avere 12 unità di lunghezza, quindi 1 cm di aumento in altezza  significa che sono necessari 12 cm  di spazio orizzontale. Le più comuni sono 1:12, 1:20, 1:8.

Pendenza = Altezza: Lunghezza della rampa

Angolo

È l’angolo tra Pendenza e lunghezza, in altre parole, angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale. Questo angolo è comunemente espresso in gradi, sebbene siano possibili altre unità angolari. Per calcolare l’angolo di inclinazione, utilizzare la tangente inversa:

Inclinazione o pendenza[angolo] è definita come l’arco tangente dell’altezza (h) diviso per la lunghezza orizzontale (l)

Percentuali

Dare  la pendenza in percentuale è il modo più comune per descrivere le pendenze in Europa e Stati Uniti.

Fai attenzione: una pendenza del 100% non equivale a 90 gradi, ma a 45 gradi. 

Si calcola dalla tangente dell’angolo di inclinazione:

Pendenza[%] = 100% * Altezza: Lunghezza della rampa = 100% * tan(angolo)

Dopo l’introduzione sulle unità di pendenza, torniamo al cuore della questione: come si calcola la pendenza di una rampa?

Bene, questo dipende dalle informazioni che hai: se conosci l’altezza e la corsa (il caso più semplice), puoi utilizzare le formule sopra menzionate. 

Tuttavia, potresti conoscere l’altezza e l’ ipotenusa del triangolo rettangolo che forma la rampa. In questo caso, puoi calcolare la lunghezza direttamente dalla formula pitagorica:

lunghezza2 +Altezza2 = ipotenusa2

lunghezza= √(ipotenusa2 – Altezza2)

In alternativa, puoi trovare la pendenza usando le funzioni inverse:

  • Inverso del sen, se conosci il Altezza e l’ipotenusa:

Pendenza[%] = arcsin(Altezza/ipotenusa)

  • Inverso del coseno, se conosci la Lunghezza e l’ipotenusa:

Pendenza[%] = arccos(Lunghezza/ipotenusa)


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Un utile file PDF PENDENZA RAMPE E PERCENTUALI

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Le proporzioni: cosa sono e come si calcolano

Come si calcolano le proporzioni?

Usiamo un argomento attualissimo e  ricorrente in questo periodo per imparare ad usare e calcolare le proporzioni.

La settimana scorsa nel Comune di Milano che ha una popolazione di3.249.821 abitanti (fonte Istat) si sono registrati 1350 casi di Corona Virus.

Se volessimo conoscere l’incidenza dei casi di Corona Virus su 1000 abitanti, che sarà la nostra incognita X, dobbiamo impostare una proporzione.

Come calcolare l’incognita nelle proporzioni?

Ecco la formula per calcolare l’incognita X

A / B = X / C

Nel nostro esempio:

  • A=1350
  • B=3249821
  • X=INCOGNITA
  • C=1000

quindi

1350 / 3249821 = X/1000

X=(1000 * 1350)/3249821

In definitiva

X=0,4154 sarà l'incidenza dei casi di Corona Virus su 1000 abitanti

La proporzione sarà:

1350/3249821 = 0,4154/1000

Le proporzioni sul WEB

Se volessi calcolare online le proporzioni c’è un ottimo sito in INGLESE che può aiutarti Ratio Solver.

Anche un ottimo video su Youtube può essere d’aiuto

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Formula del Delta (Δ)

La formula del delta in matematica

La formula del Delta in matematica non è altro che un sistema per risolvere le equazioni di secondo grado in forma normale.

Ecco la formula: Δ=b2 - 4ac

In matematica la formula del Delta si chiama anche formula del discriminante.

Come si calcola il delta nelle equazioni di secondo grado in modo semplice?

Considerata  l’equazione di secondo grado generica

ax2 + bx +c = 0

Per calcolare il Delta occorre fare:

Δ=quadrato del coefficiente di primo grado (b) meno il quadruplo del prodotto del coefficiente di secondo grado per il termine noto (c).

Quindi

Δ=b2 - 4ac

A cosa serve calcolare il DELTA?

Il calcolo del Delta è utile per sapere se esistono e quante sono le soluzioni dell’equazione studiata.

Si può inserire la formula del Delta all’interno della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado (vedi immagine sotto).

Come già detto, la quantità sotto la radice quadrata  b2−4ac è il discriminante.

Formula del Delta

Abbiamo visto come calcolare il discriminante o Delta, ora vediamo, in base al suo  valore quale risposte possiamo ottenere.

Le risposte sono 3

  1. Se il Δ>0 → l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte.
  2. Se il Δ=0 → l’equazione ha 2 soluzioni reali e coincidenti. Se si scompone si otterrà un quadrato di binomio.
  3. Se il Δ<0 → l’equazione non è risolvibile nel campo dei numeri reali.

In definitiva, come già detto il Delta ci dice se esistono e quante sono le soluzioni dell’equazione.

b2-4ac, curiosità sulla formula del delta

Molto interessante l’articolo scritto sulla formula del delta su amicoprof.it  dal titolo b2-4ac, curiosità sulla formula del delta

Perché il Δ si chiama discriminante?

La parola discriminante è dovuta al fatto che essendo b2−4ac positivo, nullo o negativo rende differenziate, cioè discrimina, le soluzioni dell’equazione.


VIDEO tutorial su Equazioni di secondo grado

A cosa servono le equazioni di secondo grado nella vita e qual è il loro significato geometrico e fisico? 

Scoprilo su questo fantastico e simpatico video a cura di Schooltooners

FORMULA DELTA, formula delta quarti, esercizi equazioni di secondo grado

Molto utile sull’argomento consultare la pagina The quadratic formula and the discriminant a cura di Australian Government Department of Education, Employment and Workplace Relations su questa pagina